16 formules pour tout commencer
Une formule, c'est une phrase compactée. Pour chacune : ce qu'elle dit en français simple, et à quoi elle sert dans la vraie vie. Tag de niveau pour t'orienter (vert = facile, doré = intermédiaire, rouge = avancé).
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés.
GPS, architecture, écrans plats : on mesure des distances avec ça tous les jours.
Équation du second degré
Solution exacte de toute équation de la forme ax2 + bx + c = 0. Le « ± » donne souvent deux solutions.
Trajectoires, optimisation, finance : partout où une grandeur évolue de façon parabolique.
Identité d'Euler
Cinq des plus grandes constantes (0, 1, π, e, i) liées en une seule équation. Souvent appelée « la plus belle équation des mathématiques ».
Traitement du signal, ondes, électricité — la base de l'analyse de Fourier.
2e loi de Newton
La force appliquée à un objet égale sa masse multipliée par son accélération. Plus c'est lourd, plus il faut pousser fort pour accélérer pareil.
Tout véhicule, toute fusée, toute machine — dimensionnement de moteurs, sécurité auto.
Équivalence masse-énergie
Toute masse est une énergie « gelée ». Convertir 1 g de matière en énergie ≈ 25 GWh, soit la consommation d'une ville de 30 000 habitants pendant un mois.
Centrales nucléaires, bombes A, soleil : tout repose sur cette conversion.
Loi de gravitation universelle
Deux masses s'attirent. La force grandit avec leur masse, et chute avec le carré de la distance.
Mouvement des planètes, orbites de satellites, marées océaniques.
Loi de Coulomb
Comme la gravité — mais pour les charges électriques. Charges de même signe se repoussent, signes opposés s'attirent.
Toute la chimie, l'électronique, les écrans, les moteurs électriques.
Énergie d'un photon (Planck)
L'énergie d'un photon de lumière est proportionnelle à sa fréquence. Plus la lumière est bleue, plus chaque photon transporte d'énergie.
Panneaux solaires, lasers, LEDs, imagerie médicale.
Inégalité d'incertitude (Heisenberg)
Plus on connaît précisément la position d'une particule, moins on peut connaître sa vitesse. Ce n'est pas un problème de mesure : c'est inscrit dans la nature.
Microscopie électronique, ordinateurs quantiques, tunneling.
Équation de Schrödinger
L'équation maîtresse qui décrit l'évolution dans le temps de la « fonction d'onde » Ψ d'un système quantique. Aussi centrale que F=ma, mais pour le micro-monde.
Simulation moléculaire, semi-conducteurs, IRM, ordinateurs quantiques.
Loi des gaz parfaits
Pour un gaz idéal : pression × volume est proportionnel à la quantité de gaz et à la température. Chauffer un gaz à volume fixe → pression monte.
Météo, moteurs à explosion, plongée sous-marine, ballons de dirigeable.
Entropie de Boltzmann
L'entropie d'un système est proportionnelle au logarithme du nombre d'états microscopiques compatibles avec son état macroscopique. C'est la mesure du « désordre » statistique.
Pourquoi le temps a une flèche, pourquoi le café refroidit, théorie de l'information.
Loi de Gauss (1re équation de Maxwell)
Le champ électrique sortant d'une surface fermée est proportionnel à la charge enfermée. Une des 4 équations de Maxwell qui résument tout l'électromagnétisme.
Antennes, condensateurs, paratonnerres, IRM.
Théorème de Bayes
Comment mettre à jour une croyance face à de nouvelles données. Pivot de la statistique moderne et de l'IA.
Diagnostic médical, filtres anti-spam, machine learning, droit pénal.
Définition de la dérivée
La dérivée mesure la pente instantanée d'une fonction — son taux de variation. Compteur de vitesse en physique.
Optimisation, économie, mécanique, IA (descente de gradient).
Vitesse d'une onde
Vitesse = longueur d'onde × fréquence. Vrai pour la lumière, le son, les vagues, les ondes radio.
Radio, Wi-Fi, échographie, accord d'instruments de musique.
Les 4 forces qui structurent l'univers
Toute interaction physique connue passe par une de ces quatre forces. Tout. La pomme qui tombe, l'écran que tu lis, la cohésion de tes atomes, et la radioactivité d'un noyau : quatre canaux, pas un de plus.
Gravitation
La plus faible mais la seule à dominer aux échelles cosmiques. Nous tient au sol et fait orbiter la Terre.
Électromagnétisme
Lie les atomes en molécules, fait fonctionner toute l'électronique, transporte la lumière.
Interaction forte
Lie les quarks en protons et neutrons, et tient les noyaux atomiques ensemble malgré la répulsion électrique.
Interaction faible
Responsable de la radioactivité bêta, de la fusion solaire, de la transformation des saveurs de quarks.
| Force | Intensité (relative) | Portée | Tu le vois quand |
|---|---|---|---|
| Gravitation | 1 | infinie | tu marches, tu sautes, la lune oriente les marées |
| Électromagnétisme | 1036 | infinie | tu vois (lumière), tu touches (répulsion électronique), tu charges ton téléphone |
| Interaction forte | 1038 | 10−15 m | centrale nucléaire, soleil qui brille, médecine nucléaire |
| Interaction faible | 1025 | 10−18 m | radioactivité, datation au carbone 14, scan PET |
Mécanique des fluides
Un fluide, c'est tout ce qui coule : eau, air, sang, magma, plasma stellaire. Quatre équations couvrent l'essentiel et expliquent une étonnante quantité du monde.
Équation de continuité
Tout fluide qui passe par un tuyau garde son débit. Section qui rétrécit → vitesse augmente. Pose ton doigt sur la sortie d'un tuyau d'arrosage : tu viens de l'utiliser.
Plomberie, design de tuyères, anatomie des artères.
Équation de Bernoulli
Le long d'un courant fluide, plus la vitesse est élevée, plus la pression diminue. Le fluide « préserve » son énergie totale.
Vol des avions, courbes des balles de foot, vaporisateurs, débitmètres.
Nombre de Reynolds
Compare les forces d'inertie et de viscosité. Re petit (≈ <2000) : écoulement laminaire, prévisible. Re grand : écoulement turbulent, chaotique.
Aérodynamique, conception de pipelines, micro-fluidique, modélisation du sang.
Loi de Poiseuille
Le débit dans un tube fin dépend de la quatrième puissance du rayon. Doubler le rayon = 16× plus de débit. Voilà pourquoi la moindre artère obstruée fait chuter la circulation.
Médecine cardiovasculaire, rhéologie, micro-canaux.
Pourquoi un avion vole
L'aile est dessinée pour que l'air aille plus vite au-dessus qu'en dessous. Vitesse haut → pression basse haut → différence de pression qui pousse l'aile vers le haut. C'est Bernoulli + l'angle d'incidence.
Pourquoi le sang circule
Le cœur impose une différence de pression. Le sang traverse des artères de plus en plus fines (continuité + Poiseuille), ralentit dans les capillaires pour échanger oxygène et nutriments, puis remonte par les veines.
Pourquoi un fleuve fait des méandres
Une moindre courbure crée des vitesses inégales d'un côté et de l'autre. Le côté rapide érode davantage, le côté lent dépose des sédiments. Sur des siècles, les méandres se creusent et s'amplifient.
Pourquoi un ballon de foot tourne
Effet Magnus : un ballon en rotation entraîne l'air d'un côté et le repousse de l'autre. La pression diminue d'un côté, augmente de l'autre — la balle est déviée. Une trajectoire en banane.
Le tableau périodique
118 cases. Toute la matière ordinaire de l'univers est faite de combinaisons de ces 118 éléments. Clique sur n'importe quel élément pour voir ses propriétés et un fait remarquable.
Choisis un élément
Physique classique vs physique quantique
Vers 1900, en voulant comprendre la lumière émise par les corps chauffés, les physiciens ont découvert que l'univers, à très petite échelle, ne fonctionne pas du tout comme à notre échelle. Voici la différence.
Échelle macroscopique
Physique classique
- Trajectoires définies : un objet est ici, à telle vitesse.
- Mesure passive : observer ne change pas l'objet.
- Énergies continues : tout est progressif.
- Déterminisme : conditions initiales = futur calculable.
- Locale : ce qui se passe ici n'affecte qu'ici.
- Lois clés : Newton, Maxwell, thermodynamique.
Échelle subatomique
Physique quantique
- Probabilités : on a des chances d'être ici, des chances là.
- La mesure perturbe : observer altère le système.
- Énergies quantifiées : par paliers discrets.
- Indéterminisme : le résultat individuel reste imprévisible.
- Non-locale : deux particules intriquées « savent » l'une pour l'autre.
- Lois clés : Schrödinger, Heisenberg, Dirac.
| Aspect | Classique | Quantique |
|---|---|---|
| Position d'un objet | Une position précise | Distribution de probabilités (Ψ) |
| Énergie | Continue, n'importe quelle valeur | Quantifiée, par paliers (h·f) |
| Lumière | Onde électromagnétique | Onde ET particule (photon) |
| État de la matière | Soit A, soit B | A et B simultanément (superposition) |
| Information | Locale | Non-locale (intrication) |
| Échelle de validité | ≳ 10−6 m | ≲ 10−9 m |
5 concepts quantiques à comprendre une fois pour toutes
Dualité onde-particule
Un électron, un photon, voire un atome se comporte tantôt comme une onde (interférences), tantôt comme une particule (impacts ponctuels). L'expérience des fentes de Young le démontre depuis 1801 (lumière) et 1961 (électrons).
Superposition
Avant mesure, une particule peut être dans plusieurs états à la fois. Le chat de Schrödinger est l'image extrême : tant qu'on n'ouvre pas la boîte, le système contient « chat vivant » + « chat mort » dans une combinaison cohérente.
Intrication
Deux particules peuvent former un état corrélé tel que mesurer l'une détermine instantanément l'état de l'autre, même séparées par des kilomètres. Vérifié expérimentalement (Aspect 1982, Nobel 2022).
Effet tunnel
Une particule peut traverser une barrière d'énergie qu'elle ne devrait pas pouvoir franchir classiquement. C'est ce qui permet la fusion solaire et le fonctionnement des transistors modernes.
Inégalité d'incertitude
On ne peut pas connaître simultanément avec précision arbitraire la position et la vitesse d'une particule. Δx·Δp ≥ ℏ/2. Ce n'est pas une limite technique, c'est une propriété intrinsèque de la nature.
Les constantes universelles
Ces nombres ne sont pas des hasards. Ils sont gravés dans la structure de l'univers. Si l'un d'eux changeait de quelques pourcents, étoiles, atomes, vie : tout serait différent.
La limite de vitesse cosmique. Aucun signal d'information ne va plus vite. Fonde la relativité restreinte.
Mesure la force de la gravité. Très faible, mais infiniment portée. La moins bien mesurée des constantes fondamentales.
Le quantum d'action. L'univers fonctionne par paliers de h. Sans elle, pas de quantique.
Apparaît dans presque toutes les équations quantiques (Schrödinger, Heisenberg).
La charge électrique d'un proton (et l'opposée pour un électron). Toute charge dans la nature est un multiple entier de e.
Lie le monde microscopique (énergie cinétique des particules) au monde macroscopique (température).
Le nombre d'atomes dans une mole. C'est la passerelle entre l'échelle atomique et l'échelle de notre laboratoire.
Caractérise la réponse électrique du vide. Apparaît dans la loi de Coulomb et les équations de Maxwell.
Mesure la force de l'interaction électromagnétique. Une des plus mystérieuses de la physique : pourquoi cette valeur ? Personne ne sait.
10 défis pour vérifier ce que tu retiens
Niveau progressif. Réponse complète après chaque énoncé : essaie d'abord, vérifie après. C'est ce moment de friction qui imprime le savoir.
Défi 1. Une voiture de 1 200 kg passe de 0 à 100 km/h en 8 s. Quelle force moyenne le moteur exerce-t-il ?
Facile
On utilise F = m·a. D'abord convertir 100 km/h = 27,78 m/s.
Accélération : a = 27,78 / 8 ≈ 3,47 m/s².
Soit environ le poids de 425 kg suspendus à un câble. C'est ce que les pneus doivent transmettre au sol.
Défi 2. Quelle est la longueur d'onde d'une station radio FM à 100 MHz ?
Facile
On utilise v = λ·f. La radio voyage à la vitesse de la lumière, donc v = c = 3 × 108 m/s.
C'est pour cela que les antennes FM font typiquement 75 cm (un quart de longueur d'onde).
Défi 3. Combien d'énergie obtiendrait-on en convertissant 1 g de matière en énergie pure ?
Facile
E = m·c², avec m = 10−3 kg.
Soit ≈ 25 GWh, l'équivalent de la consommation électrique d'une ville de 30 000 habitants pendant un mois. Voilà pourquoi le nucléaire est si puissant.
Défi 4. Une artère a un rayon r. Si une plaque réduit le rayon à r/2 (à pression constante), quel pourcentage du débit reste-t-il ?
Intermédiaire
Loi de Poiseuille : Q ∝ r⁴. Si r est divisé par 2, alors r4 est divisé par 16.
C'est pour ça qu'une sténose artérielle même modeste a des effets dramatiques sur la circulation.
Défi 5. Quelle est l'énergie d'un photon de lumière verte (longueur d'onde 500 nm) ?
Intermédiaire
D'abord la fréquence : f = c/λ = 3 × 108 / 5 × 10−7 = 6 × 1014 Hz.
Ensuite E = h·f :
Soit ≈ 2,48 eV. À cette énergie, un photon peut exciter les électrons d'un panneau solaire et produire un courant électrique.
Défi 6. Un test médical détecte une maladie à 99 % (sensibilité). 1 % de faux positifs. La maladie touche 1 personne sur 1 000. Tu es positif. Quelle probabilité as-tu d'être réellement malade ?
Intermédiaire
On applique le théorème de Bayes. Soit M = malade, T+ = test positif.
P(M) = 0,001 ; P(T+|M) = 0,99 ; P(T+|¬M) = 0,01 ; P(¬M) = 0,999.
P(T+) = 0,99 × 0,001 + 0,01 × 0,999 = 0,01098.
Contre-intuitif : tu n'as que 9 % de chances d'être malade ! C'est pour cela que les médecins font des tests de confirmation. Bayes contre l'intuition naïve.
Défi 7. Pourquoi la pression diminue-t-elle là où la vitesse d'un fluide augmente (effet Bernoulli) ?
Intermédiaire
Conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant : P + ½ρv2 + ρgh = constante.
Si v augmente, ½ρv2 augmente. Pour que la somme reste constante, P doit diminuer.
Physiquement : le fluide accélère parce qu'une force nette le pousse — donc il se déplace de la zone de pression haute vers la zone de pression basse. L'énergie cinétique est « payée » par la baisse de pression.
Défi 8. Combien d'atomes y a-t-il dans 18 g d'eau ?
Intermédiaire
Masse molaire de H₂O = 18 g/mol. Donc 18 g = 1 mole.
1 mole = NA = 6,022 × 1023 molécules. Chaque molécule = 3 atomes (H + H + O).
Plus que le nombre d'étoiles dans toutes les galaxies de l'univers observable. Dans un seul verre d'eau.
Défi 9. Pourquoi peut-on dire que les éléments d'un même groupe (colonne) du tableau périodique ont des comportements chimiques similaires ?
Avancé
Parce qu'ils ont le même nombre d'électrons sur leur couche externe — la couche de valence. Or c'est cette couche qui détermine comment l'élément forme des liaisons chimiques.
Exemple : Li, Na, K, Rb, Cs ont tous 1 électron de valence. Ils le perdent facilement → tous très réactifs avec l'eau, formant des ions +1. Idem pour les halogènes (F, Cl, Br, I) qui ont 7 électrons de valence et veulent en gagner un pour atteindre la configuration stable du gaz noble suivant.
La périodicité des propriétés chimiques est la raison pour laquelle Mendeleïev a pu construire le tableau, en 1869, alors qu'on ne connaissait même pas les électrons.
Défi 10. Pourquoi un objet macroscopique (toi, par exemple) ne se comporte-t-il pas comme une onde quantique ?
Avancé
Tout objet a une longueur d'onde de de Broglie : λ = h/p, où p = m·v.
Pour un humain de 70 kg marchant à 1 m/s :
C'est 1020 fois plus petit qu'un noyau atomique. Aucun appareil de mesure ne peut détecter ça. Les effets quantiques existent, mais sont totalement noyés. C'est pour cela que la physique classique te suffit largement à l'échelle quotidienne — mais pas pour comprendre un transistor ou une étoile.
Pour aller plus loin — ressources gratuites
Khan Academy (fr)
Cours en français du primaire au supérieur, avec exercices auto-corrigés. Maths, physique, chimie, biologie.
MIT OpenCourseWare
Cours complets du MIT en libre accès, avec polycopiés, exercices et vidéos. Physique, maths, ingénierie.
FUN-MOOC
Plateforme française de MOOC universitaires. Polytechnique, ENS, Sorbonne, Sciences Po.
AIMS · Next Einstein
Réseau panafricain de centres en sciences mathématiques. Bourses pour étudiants africains.
African Academy of Sciences
Subventions, mentorats et programmes pour scientifiques africains émergents.
arXiv.org
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